Jenis Jenis Bilangan dalam Matematika Dasar

Setelah memahami konsep  bilangan, sahabat nurrohman.com dapat menyimak paparan berikut ini mengenai jenis-jenis bilangan yang perlu diketahui oleh peserta didik SD dan SMP.

1. Bilangan Asli adalah Bilangan yang Paling Sederhana
   

Terdapat dua pemahaman mengenai himpunan bilangan asli. Pertama, secara tradisional, bilangan tradisional merupakan himpunan bilangan positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, …}. Kedua, bilangan asli dipahami sebagai himpunan bilangan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, …}.

Konsep bilangan asli menjadi salah satu konsep matematika paling sederhana. Tidak hanya itu, konsep bilangan asli menjadi konsep pertama yang dapat dipelajari dan dipahami oleh manusia bahkan dari beberapa riset menunjukkan jika beberapa jenis kera juga dapat memahaminya.

Bilangan asli digunakan sebagai pembilang, penghitung, dan sebagainya. Bilangan asli memiliki kaitan dengan bilangan prima. Tidak hanya itu, dalam matematika lanjut, bilangan asli dapat diterapkan untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.

Setiap bilangan, misalnya 1 merupakan konsep asbtrak yang tidak bisa ditangkap oleh indera manusia, tetapi memiliki sifat universal. Salah satu cara untuk memperkenalkan konsep semua himpunan bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak melalui aksioma peano.

Konsep bilangan-bilangan yang lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh. Bahkan, tidak jarang memerlukan adanya kedalaman logika untuk dapat memahami dan mendefinisikannya.

Sebagai contoh dalam teori   matematika, himpunan semua bilangan rasional dapat dibangun secara bertahap, dimulai dari himpunan bilangan-bilangan asli. Grameds, dapat memahami himpunan bilangan asli sebagai himpunan bilangan bulat potisit yang bukan nol. Sebutan lain dari bilangan asli adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif). Sebagai contoh bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…

1.1 Bilangan Genap

Bilangan gemap adalah nilangan yang habis dibagi dengan 2. Bilangan genap biasanya dituliskan  ( notasi) sebagai 2n, atau 2.n dengaan n=natural atau bilangan Asli, dan titik merupakan operasi perkalian. Jadi  himpunaan biangan genap  adalah : { 2, 4, 6, 8, …}

1.2 Bilangan Ganjil

Bilangan Ganjil adalah bilangan yang jika ibagi 2 akan bersisa 1 atau tidak habis dibagi 2. Bilangan ganjil sering dinotasikan sebagai 2n-1. Jadi himpunan bilangan ganjil adalah: { 1, 3, 5, 7, … }

1.3 Bilangan Prima

Bilangan prima merupakan bilangan asli yang lebih besar daripada 1 serta faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. Sebagai contoh angka 2 dan 3 menjadi bagian dari bilangan prima. Sedangkan, 4 bukan bilangan prima karena 4 dapat dibagi 2.

Sepuluh bilangan prima pertama terdiri dari angka 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, dan 29. Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu, tidak termasuk dalam bilangan prima maka bilangan tersebut disebut dengan bilangan komposit.

Cara paling sederhana untuk menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu adalah dengan menerapkan saringan Eratosthenes. Secara

matematis, tidak ada “bilangan prima yang besar”, hal tersebut disebabkan oleh jumlah bilangan prima adalah tidak terhingga.

Bilangan prima merupakan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan 1. Atau bilangan yang memiliki 2 faktor dan angka satu bukan termasuk bilangan prima. Sebagai contoh 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ….

2. Bilangan Cacah

Bilangan cacah merupakan himpunan bilangan bulat positif, yakni {0, 1, 2, 3 …}. Sederhananya, bilangan cacah terdiri dari himpunan bilangan asli ditambah angka 0. Sebagai contoh 0,1,2,3,4,5,6,7,….

3. Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif. Sebagai contoh -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Adapun sifat-sifat dari penjumlahan bilangan bulat sebagai berikut.

• Sifat Tertutup

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

• Sifat Komutatif

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

• Sifat Asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

• Mempunyai Unsur Identitas

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

• Mempunyai Invers

Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah – a, sedangkan invers dari –a adalah a.

Berikut sifat-sifat yang berlaku dalam operasi bilangan bilat.

• Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b). 4.
• Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.
• Jika p dan q bilangan bulat maka

1. p x q = pq;
2. (–p) x q = –(p x q) = –pq;
3. p x (–q) = –(p x q) = –pq;
4. (–p) x (–q) = p x q = pq.

• Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat

1. tertutup terhadap operasi perkalian;
2. komutatif: p x q = q x p;
3. asosiatif: (p x q) x r = p x (q x r);
4. distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x r);
5. distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) – (p x r).

• Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.
• Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.
• Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.
• Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut. (a) Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu. (b) Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu. (c) Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

4. Bilangan Rasional

• Bilangan rasional merupakan bilangan yang dinyatakan dengan p/q, yang mana p,q ϵ bulat dan q ≠ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu bilangan desimal secara berulang-ulang. Bilangan ini juga menjadi bagian bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b, yang mana a dan b bilangan bulat serta b tidak sama dengan 0.
• Adapun batasan dari bilangan rasional dimulai dari selanga (-∞, ∞). Bilangan rasional mencakup bilangan bulat, bilangan cacah, bilangan asli, bilangan prima, dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional. Berikut contoh dari bilangan rasional.
• Jika a/b = c/d maka, ad = bc
• Bilangan rasional juga menjadi bagian bilangan-bilangan dengan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b. Yang mana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat, tetapi tidak sama dengan nol.
• Sebagai contoh himpunan {½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, …}.

5. Bilangan Irasional adalah Bagian dari Bilamham Real

Bilangan Real merupakan gabungan dari bilangan rasional dan irasional.

• Bilangan irasional merupakan bilangan riil yang tidak dapa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Oleh sebab itu, bilangan irasional tidak dapat dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol.
• Bilangan rasional dan irasional sangat berbeda. Sebagai contoh bilangan π dan bilangan e. bilangan π sebanrnya tidak tepat jika dinyatakan dengan angka 3.14. Namun, dengan 3,1415926535…. atau 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…. Begitu pula yang terjadi pada bilangan e. Ia lebih tepat dinyatakan dengan 2,7182818…..